Para a representação da propagação das vazões diárias em alguns trechos de rios da bacia do rio Paraíba do Sul, utilizou-se, nos estudos, o método de Muskingum.
O método de Muskingum combina a equação da continuidade a uma equação simplificada, que relaciona o armazenamento em um trecho de rio às vazões de entrada e saída do trecho.
A equação da continuidade de um trecho de rio:
dS |
= |
I - Q |
(11) |
dt |
É aproximada em diferenças finitas como:
S t+ Δt - S t |
= | I t + I t + Δt |
- | Q t + Q t + Δt |
(12) |
Δt |
2 |
2 |
Em que S é o volume armazenado no trecho; I é a vazão de entrada; Q é a vazão de saída.
O método está baseado em uma relação entre a vazão e o armazenamento, em que a vazão do trecho é representada por uma ponderação entre a vazão de entrada e saída:
S = K . [X . I + (1 - X) . Q] (13)
Sendo:
S = volume;
I = vazão na entrada (m³/s);
Q = vazão na saída (m³/s);
K = tempo de viagem; quanto maior o valor de K, mais afastados, no tempo, ficam os picos de vazão na entrada e saída do trecho de canal.
X = grau de participação da vazão afluente I na caracterização do volume acumulado.
O valor de X está entre 0 e 1, mas, na maior parte dos rios e canais naturais, seu valor é 0,2. Dependendo do valor de X, ocorre mais ou menos amortecimento da onda de cheia. Para um valor de X igual a 0,5, não ocorre amortecimento. Quando X é igual a zero, o amortecimento é máximo.
Combinando as equações 12 e 13, a vazão de saída de um trecho de rio ao final de um intervalo de tempo Δt pode ser relacionada às vazões de entrada e saída no início do intervalo de tempo (Qt e It) e à vazão de entrada ao final do intervalo de tempo (t+Δt), como mostra a equação seguinte:
Q t + Δt = C0 . I t + Δt + C1 . It + C2 . Qt (14)
Em que:
C0 |
= |
Δt - 2 . K . X |
(15) |
2 . K . (1 - X) + Δt |
C1 |
= |
Δt + 2 . K . X |
(16) |
2 . K . (1 - X) + Δt |
C2 |
= |
2 . K . (1 - X) - Δt |
(17) |
2 . K . (1 - X) + Δt |
Sendo que C0 + C1 + C2 = 1.
Para minimizar a possibilidade de erros, os valores de K e X devem ser escolhidos, de tal forma, a satisfazer o seguinte critério:
X <= |
Δt |
<= (1 - X) |
(18) |
2 . K |
Para a maioria dos trechos considerados nos estudos, foi adotada uma forma simplificada de se considerar a propagação de vazões, que consiste apenas da translação ou defasagem do hidrograma afluente. A onda se propaga com uma dada velocidade de translação, permitindo a definição de um tempo de retardamento – ∆t –, correspondente ao tempo necessário para percorrer o segmento do corpo d'água.
Essa simplificação, como se sabe, ignora os termos de amortecimento e de difusão dos hidrogramas afluentes a cada trecho, adotando um tempo de viagem constante para todas as faixas de vazão.
Foram estimados os tempos de defasagem em condições naturais e após a entrada do reservatório para cada local de aproveitamento.